信号与系统新讲03-单位脉冲在时域和频域的体现
西部战区首次出动运9飞机抢救高原病危军人(1)
云深无际
发布于 2025-08-07 17:02:04
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云深之无迹
纵是相见，亦如不见，潇湘泪雨，执念何苦。
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写这个的原因是因为这个概念在后面频繁的出现
单位脉冲信号不是一个普通函数，而是一个广义函数（分布），具有以下性质：
且
它可以理解为“无限窄、无限高、面积为 1”的尖峰 —— 所有能量都集中在??这一点上。
单位脉冲信号的傅里叶变换
来计算它的傅里叶变换：
因此：
时域 vs 频域图像
域别 | 表达式 | 含义 |
|---|---|---|
时域 | 瞬间爆发的无限窄峰 | |
频域 | 所有频率分量强度都为 1（恒定） |
时域：
单位脉冲就是在??的地方有一个无穷高的尖峰，不能用普通图像完整画出，只能用“箭头表示”：
Time domain: δ(t)
|
↑
|────┬─────── t
### 频域：
其频谱为常数 1，表示它具有所有频率，频率范围从??到?，强度恒定：
Frequency domain: 1
|
|─────────────── constant magnitude
ω: ?-∞ ? ? ? 0 ? ? ? +∞
单位脉冲可以探测系统的全部特性（因为有着所有的频率）；
在?LTI 系统中，单位脉冲响应??描述了系统对所有输入的反应；频域恒等于 1 ? δ(t) ，包含所有频率?? 是理想“白光”或“全频探针”。
白光的光谱是可以把所有的频率分量都囊括的。
总结两个公式
然后看个图就懂了
单位脉冲 δ(t)”的矩形逼近过程
单位脉冲 δ(t)”的矩形逼近过程
左侧：时域矩形脉冲
每行表示一个不同宽度??的矩形函数；为保持单位面积，脉冲高度设置为?；随着?，脉冲越来越尖锐，趋于 Dirac 函数?。
右侧：频域响应（sinc 函数）
傅里叶变换后是一个 sinc 函数：
?越小 ? 主瓣越宽、越趋于“常数”；最终趋近于理想频谱?，这正是单位脉冲的频域特性。
时域收窄 → 频域扩展（极限就是时域是一条线，那对应的频域就是放飞自我了）
对应**极限情形???????**；这正是“单位脉冲 = 所有频率全强度合成”的真实含义。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 模拟不同宽度的矩形脉冲（逼近 δ(t)）
T_values = [1.0, 0.5, 0.2, 0.05] ?# 脉冲宽度，逐步变窄
t = np.linspace(-1.5, 1.5, 2000)
omega = np.linspace(-50 * np.pi, 50 * np.pi, 2000)
plt.figure(figsize=(12, 8))
for?i, T?in?enumerate(T_values, 1):
? ??# 时域矩形脉冲：单位面积 => 高度 = 1/T
? ? x_t = np.where(np.abs(t) <= T / 2, 1 / T, 0)
? ??# 频域：傅里叶变换是 sinc 函数
? ? X_omega = np.sinc((omega * T) / (2 * np.pi)) ?# 高度已为 1
? ??# 绘制时域
? ? plt.subplot(len(T_values), 2, 2 * i - 1)
? ? plt.plot(t, x_t, label=f"T = {T}")
? ? plt.title(f"时域：宽度 T = {T}")
? ? plt.xlabel("时间 t")
? ? plt.ylabel("幅度")
? ? plt.grid(True)
? ? plt.legend()
? ??# 绘制频域
? ? plt.subplot(len(T_values), 2, 2 * i)
? ? plt.plot(omega, X_omega, label=f"T = {T}")
? ? plt.title("频域：傅里叶变换 → sinc 趋于常数")
? ? plt.xlabel("角频率 ω")
? ? plt.ylabel("|X(jω)|")
? ? plt.grid(True)
? ? plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()本文参与?腾讯云自媒体同步曝光计划，分享自微信公众号。
原始发表：2025-08-07，如有侵权请联系?cloudcommunity@tencent.com 删除
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